Тут придётся действовать комплексно и поэтапно.
Первое загрязнение лестницы смываем чистой тёплой водой.
Меняем воду, следующее ведро уже с добавлением соли, примерно 5-6-ь столовых ложек соли на ведро (вода тёплая) и опять моем лестницу.
На финише опять чистая вода и уксус, окончательно домываем лестницу.
Если побелка на лестнице уже абсолютно высохла, то можно использовать керосин на 5-ь литров воды 100-о грамм керосина (значит на ведро 200-и грамм).
После керосина с водой меняем воду и моем чистой тёплой водой.
Это всё "дедовские" но эффективные варианты.
Есть в продаже и специальные средства для удаления побелки что меловой, что известковой с любых поверхностей.
Как правило это концентрированные средства, разводим с водой и моем лестницу.
Вот, например такое средство "Probel",
не оставляет разводов, не оставляет после себя белых пятен на поверхности.
Пропорции на таре, но обычно это 1:100-а при удалении поблекли с пола, после ремонта.
