Надо ли штукатурить печной дымоход и каналы печи изнутри? Если да, то чем и как?

Если печной дымоход уже возведен, то штукатурка технически невозможна.

Если на стадии возведения, то все равно не рекомендуется и причины следующие:

Штукатурка, со временем, отойдет от основания и не только из-за разницы температур, дымоход нуждается в регулярной очистки от сажи, используются довольно жесткие "ершики" и возможно с гирей на конце, если дымоход "забит наглухо".

Сажа считается и с внутренних стенок дымохода, в том числе штукатурный слой будет поврежден.

Далее осыпавшееся штукатура просто забьет дымовые каналы, да и поверхность будет не гладкой, если отслоение штукатурки будет локальным.

Нужно не штукатурить, а уделить внимание швам кирпичной кладки, лишний раствор не оставлять в швах, а удалять его разглаживания (пока раствор не схватился).

Но если решили штукатурить, то делается это по ходу возведения дымохода.

Обычно в качестве штукатурки используются кладочно-штукатурные смеси (то есть на эту же смесь и кирпич кладется) вот не плохая "Тайфун Мастер".

Классический вариант оштукатуривания поверхности, с выставлением "маяков" тут не подходит, да и штукатурный слой не набрасывается кельмой, он "втирается" шпателем по типу шпаклевки.

В идеале поверхность лучше загрунтовать, но если не получается. то нужно хотя бы увлажнить.

Штукатурно-кладочную смесь протягиваем шпателем, стараемся чтобы поверхность была максимально ровной, это сложно назвать "штукатуркой", но вариант рабочий.