Важно учитывать желаемое качество, на финише.
Если качество не интересует, то клей можно не убирать, если качество на первом месте, то клей убирается однозначно и с плитки и с поверхности на которую она укладывалась.
Дальше, обычно и тем более речь о полах, плиточный клей наносится сплошным слоем без пропусков.
Я использую вот такую гребенку.
Если клей не убирать, то высохший клей своего рода "маяк", Вы не сможете придавить плитку ниже, при необходимости.
Она может оказаться не заподлицо с остальным кафелем (с соседними плитками).
Если это не останавливает и клей остался на полу (плитка чистая), то уберите пыль с поверхности.
Затем грунтовка с просушкой.
Уберите с торца плитки, по периметру, остатки фуги (затирки для швов, скорей всего она не цементной основе).
Разведите плиточный клей до более жидкого состояния (добавьте больше воды, количество воды к сухой смеси указывается на упаковке)) нанесите клей на поверхность, шпателем.
Прижмите плитку к полу, вставьте дистанционные крестики.
Швы, от клея очистите после первичного схватывания клея.
Всё, не следующий день, убираем крестики, очищаем швы и затираем их.
Если плитка квадратная, то кладите её в том же направлении, можно маркером (не перманентным) , обозначить направление.
Проще если плитка с рисунком.


Возьмите зубило и молоток, зубило держите под углом к полу, нанесите несколько ударов молотком и очистите пол от клея.
Убрать клей с пола на порядок проще чем с плитки.


Всё дело в качестве выполненной работы, технически, можно приклеить и не удалять клей, но это неправильно.
В некоторых случаях (начинающий плиточник, полы недостаточно ровные) плиточный клей наносится индивидуально на каждую плитку, но и в этом случае клей лучше убрать полностью.
Это же (полная очистка) относится к "самодельному" клею (цемент, песок, ПВА).


По напольной плитке ходят пользователи, на неё устанавливают мебель, тут нельзя "колхозить", заполнение клеем должно быть полным, а это невозможно, если не убрали старый клей.
И ещё, нужно выяснить причину по которой отошла плитка, возможно всё гораздо серьезней, в некоторых случаях работа переделывается полностью.