Информации очень мало, то что плитка коричневая и матовая мало о чём говорит.
Конечно же лучший (идеальный) вариант очистка поверхности сразу же после загрязнения.
Сложно понять "природу" происхождения пятен о которых Вы пишите.
Главное не старайтесь тереть чем-то металлическим, на плитке останутся чёрные полосы.
Если ни куда не спешите, то можно попробовать губку намочить в любом моющем средстве и положить на пятна, через сутки уберите губку, затрите влажной тряпкой.
Если ни чего не помогает, то опять же надо выяснить что это за пятна, если остатки после цементных растворов, то есть специальная смывка под это дело, вот не плохая Sopro ZEA 703,
можно работать по кафелю.
Так же удаляет высолы (Вы пишите о неких белых пятнах).
Средство надо нанести на поверхность, подождать (там есть инструкция) насколько я помню пол часа и затем смыть чуть тёплой водой.
Если сильно переживаете, то можно сделать:
а) это концентрированное средство, разбавьте его водой.
б) потренируйтесь в менее заметном месте, или на обрезках плитки которые наверняка у Вас остались.
Можно пробовать оттереть даже обычным ластиком, но опять же ситуацию лучше видеть.
Не забывайте о технике безопасности, работать этой смывкой надо в резиновых перчатках, средство не должно попадать в глаза , или просто на кожу.
Если случилось, то сразу же смойте (помойте) проточной водой.
Помещение лучше постоянно проветривать (нужен сквозняк).