Чтоб приклеить войлок к дереву вам нужно обратить внимание на такие виды клеев как текстильный клей или клей для текстиля - именно эти клеи способны надёжно приклеить войлок к другим поверхностям в том числе дерево.
Использовать другие виды клеев конечно можно, но именно текстильный клей сделает это качественно, клеевой шов будет незаметным и долговечным.
Клеевое соединение отлично выдерживает перепады температур, морозы и жару, не боится влаги, его можно мыть и даже стирать, имеет устойчивость к механическим воздействиям (изломам и изгибам и даже скручиванию), а приклеенный к дереву войлок будет держаться отменно и надёжно.
По поводу конкретного клея, я бы лично порекомендовал вот такой клей для текстиля под названием "UHU TEXTIL"
Очень хороший клей, конечно не знаю получиться ли у вас его найти, так как этот клей германский , точнее немецкого производства, раньше он был в наличии повсеместно, сейчас пропал из продажи, но возможно получиться найти не пожалеете.
Если не найдете, то спрашивайте аналог этого клея, возможно есть отечественные аналоги или аналоги других стран производителей, например Китайские аналоги этого клея, в любом случае ищите хороший текстильный клей.
Использование других видов клея конечно можно, тот же полиуретановый клей или резинового клея конечно дадут результат, но в каждом конкретном случае будут уступать текстильному клею, либо по стойкости к изломам в случае с полиуретановым клеем или прочности клеевого соединения если приклеить обычным резиновым клеем.