Фанера, это материал изготавливаемый из листов шпона (тонкий срез древесины) который склеивается между собой, в условиях производства.
Значит все материалы используемые при подготовительных работах и покраске фанеры должны быть "по дереву" (краска, шпаклевка, грунтовка).
Фанера толщиной 4 мм (Вы об этом пишите), относится к тонкой, но есть и тоньше, даже более тонкая фанера окрашивается.
Дальше, поверхность должна быть идеально подготовленной (если речь о качественной покраске), я в этом случае ещё при покупке фанеры, уделяю этому внимание.
Фанера делится по сортам, лучше покупать фанеру или высшего сорта, или первого.
На такой фанере нет сучков, мелких трещин, сколов и иных дефектов.
Лучше сразу купить, фанеру шлифованную, вот так
она выглядит.
Если изделие окрашивается с обеих сторон, то нужна фанера с двухсторонней шлифовкой, если с одной, то односторонняя.
Далее, перед пекарской занесите фанеру в помещение в котором она будет окрашиваться, это особенно актуально если на улице отрицательные температуры.
Грунтовка, шпаклёвка, краска, должны быть совместимы между собой, речь об акриловой краске,значит и грунтовка нужна акриловая и шпаклевка (по дереву).
Если фанера в идеальном состоянии (отстаивается, она или нет, можно проверить ещё при покупке), то шпаклюются только головки саморезов (фанера крепится к каркасу, в Вашем случае).
Затем просушка шпаклевочного слоя и шлифовка этого участка.
Фанера должна быть сухой, при необходимости дайте время на просушку листов.
Вот это основные моменты, если фанера шлифованная, то убираем этот пункт из подготовительных работ.
Удаляем пыль с поверхности, грунтуем, далее грунтовочный слой должен полностью высохнуть,затем покраска, просушка первого слоя и нанесение второго, всё.


Изделие не большого размера, это не лист фанеры, поэтому не покоробится и плюс, фанера крепится к каркасу, это придаст ей дополнительной прочности.
И фанера толщиной 4 мм, не самая тонкая.


См. выше, лучше купить шлифованную фанеру с двух сторон, сорт первый.
Грунтовку так же как и краску можно использовать аэрозольную.
При нанесении краски на поверхность не задерживайтесь подолгу на одном месте, слой должен быть равномерным, тонким.
Перед использованием аэрозольной краски обязательно встряхните баллон с краской, это же относится и к аэрозольной грунтовке.