Чаще всего расшатываются стулья у которых крепление ножки стула к сиденью клеевое.
То есть в наличии паз в который вставляется ножка стула, плюс клей.
Вариантов ремонта несколько:
Извлечь шатающуюся ножку из паза, если клеевой шов ослаб, то сделать это не сложно.
Если клей ещё крепкий, то как вариант разогреть его, расшатать ножку и вынуть.
Далее тщательная очистка той части ножки которая вставляется в паз, от старого клея.
Можно ножом + наждачная бумага, можно пробовать острой стамеской.
Далее наносим слой столярного клея (Момент-столяр, не плохой клей), (предварительно убрав пыль и грязь с паза под сиденьем стула) и на ножку и в паз.
Тщательно прижимаем, далее полная просушка, можно с использованием гнёта (груза) установленного на сиденье стула.
Второй вариант, если только клея не достаточно, ножовкой по металлу сделать прорезь в ножке и вбить клин (изготавливается из куска деревяшки),
можно клин + клей ПВА, после просушки клея, подрезаем клин заподлицо с торцом ножки стула.
Клин чуть расширит ножку и она будет плотней держаться в пазу, а дальше те же действия с клеем и грузом.
Точно также крепятся (ремонтируются) и проножки стульев, если они есть (это планка между ножек стульев, те же пазы и те же действия с клеем).
Можно попробовать без полной разборки стула на составляющие.
Если крепление ножек стула к сиденью, болтовое, то болты можно подтянуть, или просто заменить на новые.