Починить возможно, но конечно надо знать где и главное как поломалась ножка, из какого материала она изготовлена, если древесина, то в каком она состоянии (гнилая, не гнилая и.т.д).
Если ножка стула сломалась на два куска, то в принципе можно отремонтировать и в этом случае.
Находим центра поломанных кусков, сверлим отверстия в двух половинках ножки.
Отверстия примерно 5-ь см в глубину, а в диаметре равным диаметру шканта
(отверстия можно и глубже сделать, смотрите уже по месту.
Очищаем отверстие от стружки.
Шкант промазываем с столярном клее и соединяем два куска поломанной ножки.
Если эстетика важна, то придётся и шпаклевать и красить.
Для надёжности можно и металлической пластиной стянуть поломанную ножку, но изнутри стула что бы не бросалась в глаза.
В целом ремонт возможен где-то в 50% случаев, иногда (к примеру сломалась ножка на сучке, или древесина гнилая) правильней заменить поломанную ножку на новую.