Построить можно, но узаконить будет практически не возможно.
Узаконивать пристройку можно как до строительства (наиболее правильный вариант), так и после строительства, через суд.
В пакете документов которые необходимо подать в государственные органы занимающиеся этим вопросом, есть пункт "разрешение от соседей", причём разрешение должно быть письменным.
Если сосед против (тем более и расстояние до дома минимальное), то вариантов нет, надо договариваться.
Через суд так же Вы мало чего добьётесь, суд выносит только два решения, или узаконить, или снести.
Сосед так же может подать в суд (если игнорируете его не желание) и практически у Вас не будет шансов выиграть его (я о суде).
Насчёт одного из соседей, сосед должен быть или владельцем дома, или человеком прописанным в доме, посмотрите его документы (того кто против), возможно он просто снимает дом, или прописан в другом месте.
В этом случае у Вас появляются шансы.
Ну и конечно нужен целый пакет документов. Электросети, газовое хозяйство (если дом газифицирован), пожарники, Санэпидстанция, водоканал.
Нужен проект пристройки. Начните с этого, возможно нет смысла "возиться" с соседями, возможно одна из служб не даст разрешение.
