В начале хотелось бы отметить несколько важнейших моментов.
Мы имеем дело с мягким материалом (речь о шкафе), это может быть ДСП, МДФ, фанера, древесина и так далее.
Значит у нас стоит задача не повредить мягкий материал металлическим инструментом.
Далее, высверливать поломанный шуруп мы не будем, это довольно опасное мероприятия, мы можем повредить шкаф, если сверло соскочит.
Конечно же шурупы не ломаются в одном и том же месте, нам надо знать есть ли торчащий конец шурупа за который мы можем ухватиться.
Если да, то задача упрощается, берём в руки плоскогубцы, зажимаем и начинаем откручивать против часовой стрелки.
Ещё важный момент, что бы плоскогубцы не срывались важно работать в удобном положении, то есть (это к примеру) если шуруп высоко не надо к нему тянуться, встаньте на табуретку.
Дальше, если шуруп поломался заподлицо с панелью, или глубже, то надо подбирать инструмент с более тонкими и не широкими "губками".
Кусачек, плоскогубцев, круглогубцев и так далее, огромное количество
ситуацию надо видеть, что бы посоветовать какой именно инструмент подойдёт в Вашем случае.
Но думаю что алгоритм действий понятен, важно надёжно зафиксировать конец поломанного шурупа и только после этого вращать против часовой стрелки.
Допускается лёгкое постукивание (к примеру молоток + отвёртка), но удары наносите чуть в бок, не загоняйте шуруп ещё глубже.
В общем совершено пустяковая работа, я как-то поломанный шуруп на кухонном шкафу открутил обычными ножницами.