Как провести провода для «стиралки» и водонагревателя в ванную и туалет, коробка над дверью туалета?

Непосредственно в распред коробке провода соединяются при помощи клеммных колодок, или они спаиваются и.т.д, скрутки запрещены про правилам ПУЭ.

Так как туалет и ванная комната относятся к помещениям с повышенной влажностью, то и розетки нужны соответствующие (во влагозащитном корпусе).

Можно взять вот такую

Проводку лучше делать скрытую, то есть сделать разметку, нарезать штробы.

Дальше нужно определиться с мощностью этих электроприборов, у нас стиральная машина "Самсунг" и бойлер (накопительный) "Аристон", мощность бойлера 1,5 кВт, стиральной машины 1,8 кВт., 1,5 + 1,8 = 3,3 кВт, даже медный провод на 2, 5 квадрата (обычно такой используют под розетки) рассчитан на нагрузку до 5,9 кВт.

Плюс учитывайте даже бойлер не работает постоянно, после набора заданной температуры он отключается, стиралка задействована только при стирке, то есть крайне редко и бойлер и стиральная машина будут работать одновременно.

Далее можно задействовать Ваш 3 вариант, 2 розетки через стену (параллельное подключение, соединение).

Делаем отверстия, устанавливаем подрозетники, зачищаем концы проводов от изоляции, заводим провода под винтовые зажимы в розетках, на финише устанавливается наружная (внешняя) панель розеток.

Провода под розетки нужны медные, трехжильные и тем более медные если и в распределительной коробке тоже медный провод.

И ещё, штробы в этих помещениях, лучше заделывать смесями на основе цемента, а не гипса.