Розетку провести не сложно, сложнее придумать куда девать провод. Есть несколько вариантов: можно сделать штробы в стене, если конечно она (стена) не бетонная, можно и в бетоне, но нужен инструмент.
Мне кажется что самый удобный вариант, это приобрести плинтуса с каналом для кабелей, в этот канал поместить провод для новой розетки.
Перед тем как перенести розетку на балкон, подготовим место под новую розетку. Для установки подрозетника, нам понадобится углубление в стене, на глубину подрозетника. Углубляться, в стену, можно и в ручную (молоток, зубило), а можно и с помощью насадки на дрель, насадки называются " коронки" (они довольно дорогие).
После того как сделаем подрозетник, можно приступать к проводки. Открываем розетку от которой будем вести провода (не забудьте обесточить розетку). Снимаем розетку, далее, присоединяем новые провода к уже имеющимся, важно помнить, что провода должны быть из того же материала и такого же сечения как и старые (нельзя алюминий прикручивать к меди и наоборот, они будут окисляться). После того как скрутили провода, надо их заизолировать, теперь тянем провода к балкону. Я не знаю какие у Вас двери и окна, поэтому решите сами, что Вам лучше сверлить стену насквозь (понадобится длинное сверло и перфоратор), или сверлить коробку на двери.
Новую розетку соединяем с проводами, затем розетку крепим в подрозетнике. Если воспользуетесь моим советом, по поводу плинтусов с каналом, то штробить, под провод, надо немного, всего лишь от старой розетки, до пола.