Можно ли сделать участок пола из плитки под стиральную машину на кухне?

Положить плитку конечно можно, только полы всё равно будут продолжать "раскачиваться".

Видимо у Вас лаги прогнили, плитка лагам никак не поможет.

Если полностью отсечь стиральную машинку от пола, то технически это сложное мероприятие.

Проще, быстрей и дешевле, разобраться с лагами.

А плитку можно класть как на дерево, так и на фанеру которую саморезами прикручиваем к дереву.

Вариант с фанерой даже предпочтительней, не надо снимать краску с половой доски, ди и "!гуляющее" дерево не пойдёт на пользу кафелю.

Фанера нужна влагостойкая.

Размер из расчёта что бы она не выступала за габариты стиральной машинки.

Кафель лучше брать с анти скользящим покрытием.

Фанера шлифуется, затем грунтуется, далее (я описываю как я делаю, это совет, а не необходимый этап) на фанеру наносится тонкий слой плиточного клея.

На последнем этапе кладём плитку.

Фанеру можно и заподлицо с полом сделать, тут всё понятно, очерчиваем по периметру и стамеской выбираем толщину в древесине.

Но опять же, повторюсь, проблема в лагах, кафель "шатание" пола не устранит.

Возможно Вам повезёт и достаточно усилить половые доски гвоздями, но мне кажется что общее "шатание" пола вызвано именно удручающим состоянием лаг.

Ну и последний совет, мастику для укладки плитки лучше не используйте, стиральная машинка довольно тяжёлый агрегат, мастика просто не выдержит такой вес, в отличии от плиточного клея на цементной основе.

Подрезку лучше запускайте к стене, снаружи красивей смотрится целая плитка.

По сути Вам нужна подставка под машинку, устойчивая к вибрации, и в данном случае, если на пол закрепить панель, размером по сечению основания стиральной машины, к примеру из нержавеющего толстого металла, то вот как раз именно так и удастся Вам решить эту проблему. Панель необходимо крепить к полу, а еще лучше к лагам на анкерные болты. По краям панели можно сделать невысокие бортики, высотой не более трех миллиметров, и вот теперь на эту панель, если Вам так хочется, можно закрепить кафельную плитку для декора. Заделать швы затиркой. Знаете, как укрепляют ступени на крыльце магазина, вот так же и здесь. Иначе плитка отвалится и от пола, и от листа фанеры. Панель можно заказать у любого слесаря. В противном случае, лучше сделать полы по уму, сняв старые, и сделав стяжку по всем правилам.

А еще можно использовать вот такие замечательные антивибрационные подставки (кстати, их бывает множество видов и конструкций):

Есть два выхода из этой проблемы:

1. Можно сделать всё как вы сказали, а именно - вырезать в деревянном полу квадратное отверстие немного большего размера, чем плита, снять доски и переделать в этом отвесстии пол, но никакого смысла лить стяжку и ложить на неё плитку я не вижу, сделайте обычный деревянный пол под машинку, только отдельный от кухни, укрепив его к основанию дома новыми лагами, досками и крепежами. Щель между новым и старым полом можно заделать порожком...
2. Установить на пол под стиральную машинку демпфера, можно 4 демпфера под ножки, а можно изготовить стол и установить стиралку на него. Демпфера будут сглаживать вибрацию и не так сильно расшатывать пол.