В начале надо осмотреть швы и принять решение, одно дело жир на швах и совсем другое плесень.
В случае с жиром, швы можно оттереть обычными моющими средствами которые и предназначены для жирных пятен, к примеру "Пемолюкс".
Далее, просушиваем швы, причём тщательно. После этого можно приобрести вот такой комплект,
в комплекте средство для обновления швов, салфетки, кисть.
Средство наносится кистью на швы, примерно через 2-а часа смываем водой, остатки удаляем салфеткой.
Но если на швах плесень, то вся Ваша работа будет бесполезной, через короткое время плесень опять появится в швах.
Накладывать в швы фугу слой за слоем не советую, швы будут смотреться безобразно, разная толщина, плюс фуга на фуге не очень хорошо держится.
С плесенью надо бороться кардинально, придётся швы полностью очищать от фуги, можно обойным ножом, можно купить специальный скребок для очистки швов.
Тут будьте внимательны, особенно если плитка с глазурью, скребком надо работать только в швах, что бы не поцарапать плитку.
После того ка швы очищены, можно их обработать хлор-содержащими составами, опять же работаем тонкой кистью.
Далее покупаем специальную затирку для швов, которая является не только влагостойкой, но и антигрибковой, то есть борется с плесенью.
Советую в этом случае поменять и цвет затирки, если не смогли найти затирку подходящего Вам цвета, то купите колер и добавьте его в белую фугу.
Фартук на кухне не большой по квадратуре, так что можно сразу развести фугу, колер на всю площадь.