Причин довольно много и почти все они не связаны с поломкой самой мышки.
У вас вместо одного щелчка происходит двойной (при двойном на левой кнопке, тоже текст выделяется), надо зайти в настройки (через панель управления, далее "мышь", это в Виндовс ХР, иные ОС иные подходы, но принцип один, это настраиваемая позиция) и сдвинуть ползунок "скорость выполнения двойного щелчка"
в сторону слова "ниже", возможно он у Вас на максимуме стоит.
Далее смотря какой у Вас браузер, я себе установил "К-Мелеон", так там жесты мышки можно настраивать, если этого не сделать, то настройки по умолчанию, в том числе выделение текста левым щелчком.
Возможно абсолютно механическая проблема, Вы просто вместо одного нажатия делаете двойное, или при нажатии передвигаете курсор и в первом и втором случае текст будет выделяться.
Поломка мыши вот таки образом, большая редкость, но для профилактики можно отключить, разобрать и почистить мышку, возможно давно этого не делали.