Если потом перестаёт дымить, то значит проблемы не с двигателем бензопилы (дымить может если двигатель не исправен).
Тут скорей всего нет серьёзной поломки, бензопила работает (двухтактный двигатель) не на чистом бензине, а на топливной смеси бензин + масло, возможно не соблюдены пропорции масла и бензина.
В глушителе (из-за постоянного не соблюдения и перелива масла) образуется нагар, бензопила заводится, тёплый воздух разогревает этот нагар и пила дымит, затем перестаёт.
Пропорции лучше соблюдать, а масло лучше брать такое какое рекомендует производитель конкретной безопилы.
В продаже есть "малодымное" минеральное масло для двухтактных двигателей,
не плохой вариант, если задымлённость "напрягает".
А в целом, это нормально что бензопила дымит на холодную, масло в смеси в этом причина.
А возможно смесь приготовили давно, бензопила долго не работала, тоже может дымить, "про запас" смесь лучше не готовить, у неё срок использования ограничен.