Важно учитывать какая это плитка, напольная, или настенная.
Напольная, как правило прочней, можно остатки клея и механическим путем удалить.
Дальше, нужно определиться каким образом наносился клеевой слой, если проще, то клей на носился точечно на каждую плитку (вариант укладки рабочий, но не лучший, используется без предварительного выравнивания поверхности), или же плитку укладывали под гребенку (сплошной слой).
Далее нужно определиться с составом клея.
В Советские времена использовали самодельный клей, цемент +песок + клей ПВА и плитка предварительно,замачивалась.
Клевой слой значительный и его удалить проще.
Если использовался клей на основе цемента заводского изготовления, то остатки клея можно удалить как механическим способом, так и химическим.
Я предпочитаю химический, или комбинированный вариант.
Покупаем вот такое
средство "PROSEPT CEMENT CLEANER", для удаления любых цементных растворов и с плитки в том числе (плиточный клей на основе цемента, относится к таким растворам).
Средство концентрированное, так как клей у Вас старый, то используем средство без разбавления водой.
Очиститель ("удалитель") наносится методом распыления, или кистью на цементный плиточный клей.
Далее ждем минут 20-30, плиточный клей станет значительно мягче, его остатки удаляем металлическим шпателем, при необходимости повторяем действия.
Также не забудьте очистить торцы плитки от остатков затирки (фуги), если и она на цементной основе, то используем это же средство.
Можно попробовать удалить клей и механическим методом.
Если это напольная плитка, вначале смачиваем клей водой обильно, можно использовать губку, или пульверизатор.
Вместо просто воды, делаем раствор воды и соды (жидкая консистенция), клей "размякнет" через несколько часов.
Далее кладем (устанавливаем) плитку на торец, вставляем широкую стамеску, или нож от рубанка (ручного) , или тонкое зубило между клеевым слоем и плиткой.
Далее, без фанатизма и очень аккуратно наносим легкие удары молотком по широкой стамески, клей должен отходить слоями.
Если не получается использовать ударный инструмент и стамеску, то опять же смачиваем плиточный клей, ждем некоторое время, далее работаем в ручном режиме металлической щеткой, далее убираем остатки клея шпателем, чередуем работу щеткой и работу шпателем.
Можно использовать насадку (корщетку) для дрели, или УШМ, но пыли будет много, поэтому и в этом случае клей смачиваем водой.
Если работа объемная, то лучше использовать электроинструмент и насадки, если плитка штучная, то проще удалить в ручном режиме.