Предположу что речь идет о шланге для душа, шланг с лейкой.
Обычно это шланги "гайка-гайка", одна сторона под душевую лейку, вторая гайка прикручивается к переключателю душа.
Скорей всего смеситель у Вас со стационарным (не поворотным) изливом, сам излив является продолжением корпуса смесителя.
В него же вкручивается переключатель душа, к которому крепится шланг, видимо в этом месте проблема, вот фото для наглядности.
Вначале перекройте оба вводных крана на стояках, демонтируйте смеситель, эксцентрики из монтажной планки, можно не выкручивать.
Далее, или купите проникающую смазку (я покупал ВД-40), или смочите ветошь уксусом и положите тряпку часов на 3-5.
Затем, между куском резьбы который остался в смесителе и его корпусом, ножом с жестким лезвием (нож можно заменить полотном для ножовки по металлу, или металлической линейкой, тонкой отверткой с плоским жалом и.т.п) очищаем известковый налет, грязь и.т.п, обломок резьбы мог и "прикипеть".
Затем можно вставить тонкие пассатижи во внутреннюю часть обломившейся резьбы, затем раздвинуть "губки" пассатижей и одновременно, пробовать их проворачивать против часовой стрелки, то есть выкручиваем обломок.
Если не получилось, можно попробовать тонкое зубило и молоток, или ударную отвертку, или стамеску, наносим удары молотком по стамеске и выкручиваем резьбу против часовой стрелки.
Если есть возможность, то можно использовать пилочку по металлу для электролобзика и распилить резьбу вдоль.
Вместо пассатижей, можно "вбить" в резьбу напильники лучше трехгранный, или плоскую отвертку, но широкую.
Как только зафиксировали напильник, или отвертку, пробуем откручивать пассатижами против часовой стрелки.
Можно приобрести и экстрактор, и лучше сразу набором, но это в том случае если часто сталкивайтесь с такими проблемами, если работа разовая, то можно обойтись подручными, более простыми инструментами.


Сломавшийся переключатель, как и шланг для душа с лейкой, это все запасные части, можно приобрести отдельно от смесителя. Решение Вашей проблемы, не сложное, мое мнение, покупать смеситель необязательно, дешевле (гораздо) отремонтировать его.