У нас бойлер работает всего недели две в году, обычно летом когда на сетях ГВС проводятся плановые работы.
Воду с бойлера не сливаем, так как речь о квартире и в туалете где находится бойлер круглый год положительная температура (в отличие от дачи, там бойлер сливаем).
Если вода застоялась и явно ощущается запах сероводорода, то достаточно пропустить воду примерно в течении 5-10 минут (+-).
Что касается Вашей идеи, то технически она реализуема.
Бойлер работает при наличие давления в системе, сколько воды берете из бака, таким же количеством воды он заполняется и не важно, горячую воду Вы взяли, или холодную.
Но придётся на выходе (ГВС) устанавливать два крана и тройник.
В моем случае бойлер подключен полипропиленовыми трубами (на ГВС армированная стекловолокном).
Впаиваем нижний кран шаровый и лучше полипропиленовый.
Разрезаем трубу, учитываем длину крана и глубину захода трубы в кран, с каждой стороны.
Этим краном будете перекрывать воду из бойлера чтобы она не попадала в трубы ГВС внутренней разводки (при наличии централизованного водоснабжения горячей водой).
Дальше выше этого крана впаиваем тройник и через отрезок трубы в тройник впаивается вот такой
комбинированный шаровый кран "папа" (наружная резьба).
Далее перекрываем штатный кран подачи воды в бачок унитаза. откручиваем шланг с крана.
Скорей всего имеющийся гибкий шланг будет коротким, придется покупать новый более длинный.
Все подключаем шланг к вновь установленному крану и к штуцеру бачка унитаза.
Бачок будет наполняться через бойлер, но не попадать в трубу ГВС.