Разбирать стул по частям не надо.
Скорей всего придётся разбирать все рейки на спинке стула (Вы о такой конструкции пишите).
Дело в том что спинка собиралась из двух половинок стула, другими словами рейки (и та которая вылетела) были соединены с противоположной стороной все вместе, а не по отдельности.
Поэтому у Вас и не получается вставить одну планку.
Укоротить планку конечно можно, но она перестанет выполнять свою функцию, она будет скорее всего простой декорацией.
Что бы сохранить жёсткость спинки и стула в целом, придётся разъединить все рейки на спинке стула (с любой стороны с какой проще).
Затем очистить и пазы и все рейки от клея.
После этого мероприятия, выпавшую рейку мажем клеем с двух сторон, , а те которые вынули насильно, с одной стороны.
Далее надо чем-то связать спинку стула, связываем для того что бы планки лучше приклеились .
Можно проволоку алюминиевую использовать, если ни чего такого нет, то верёвку.
Описанный метод ремонта конечно более длительный по времени, гораздо проще укоротить рейку и вставить её в пазы, решать Вам, но после этого стул проживёт гораздо меньше, чем если бы Вы сделали всё правильно с первого раза.
Если планки на спинке стула идут вертикально,
тот тут ещё проще, Вам надо снять только верх рамы, придерживая при этом планки.