Как функционально совместить балкон с кухней и комнатой?

Честно говоря, не такой уж и большой кабинет получается. Есть ли смысл так поступать? Почему бы не отказаться от идеи устанавливать дверь на балконе. Тем более, что эта установка сопряжена со множеством проблем, да и из просто огромного балкона Вы делаете два маленьких. Если не хотите, чтобы Вас беспокоили во время работы, закройте дверь на балкон, вот и всё. Вот посмотрите, как можно это организовать:

Если же затеять возведение стены (перегородки), то это один из двух вариантов в итоге:

1 полноценный ремонт и вбухивание немалых денег (полноценная стенка/перегородка, звукоизоляция, иначе зачем Вам эта стенка, а также подведение отопления, ведь в зимний период там будет не курорт на берегу моря)

или

2 неаккуратная перегодка, которая просто не будет пропускать свет, но звук будет проходить с легкостью + постоянно нужно будет выходя с одной двери проходить в другую, узенькую, которая постоянно будет биться об одну из стен, но придется как-то изворачиваться, чтобы ее открыть и протиснуться

В итоге, из огромного балкона Вы получите коморку и обычный балкон с тремя дверьми.

Если же от идеи возведения перегородки Вы еще не отказались, то приступим. Легче всего возвести ее из гипсокартона. Однако, если будете биться об эту стенку, преодолевая дверь, а может и еще какие препятствия, то такая перегородка долго не протянет. Придется делать ее усиленной, вставлять в профили деревянные бруски, хотя и это не особо надолго выручит. Можно использовать пеноблоки или кирпичи, но выдержит ли балконная плита? Я бы не советовал пробовать.

Что касается соседствующего с новой перегородкой стекла, то придется просто делать какую-нибудь заглушку, а потом ее декорировать. Можно использовать хоть фанеру, хоть пенопласт, тут уж решайте, что под руку попадет. Либо другой вариант - сносить остекление, возводить полноценную стену и застеклять по новой.

Вся Ваша задумка называется перепланировкой.

Перепланировки в квартире не делаются без огромного количества разрешительных документов, включая утверждённый проект перепланировки.

Даже казалось бы такую мелочь как порожек между кухней и балконом убирать нельзя,

Все наружные стены несущие на них "дышать" нельзя, а не то что убирать полностью.

Задача не выполнима, то окно о котором Вы пишите находится в несущей стене, далее идёт балконная плита, балкон застеклён.

Окно Вы убрать сможете, но стены нет.

В Вашем случае лучше всего качественно утеплить балкон (качественно, это наружное утепление), сделать отопление на балконе (к примеру электро-конверторами) это и будет кабинет о котором Вы пишите.

Кухня сама по себе это запахи готовки пищи, плюс повышенная влажность, совмещать кухню с комнатой не лучший вариант.

Я бы Вам посоветовал начать с проекта, проектировщики учтут все Ваши пожелания, иных вариантов нет (см. выше о перепланировки).