На мой взгляд надо ориентироваться на следующее:
Доска закреплена на поверхности, или она в руках.
Если в руках и конец гвоздя торчит с другой стороны, то смазываем его (торчащую часть) маслом и выбиваем молотком в обратную сторону, как только появится возможность ухватиться кусачками, цепляем гвоздь и вытаскиваем.
Доску надо сохранить, или можно повредить с дальнейшим ремонтом.
Если можно повредить, то стамеской выбираем древесину у гвоздя, далее работаем кусачками.
Можно сделать отверстия рядом с гвоздём.
Можно приобрести пробочное сверло,
или из куска трубки сделать его самостоятельно.
Сверло чуть больше диаметра гвоздя.
Заряжаем дрель, высверливаем "пробку" (отверстие) и извлекаем её из доски вместе с гвоздём.
Далее в появившееся отверстие вбиваем шкант (чопик), шпаклюем, шлифуем и.т.п.
Если доску демонтируем с поверхности, то монтировкой поддеваем её и извлекаем, то есть с гвоздями без шляпок не заморачиваемся, чуть позже выбьем их в обратном направлении.
Можно просто гвоздь добойником вбить ещё глубже и далее зашпаклевать, надо смотреть по месту какой результат устроит.