Как закрепить спинку стула (см)?

Если отверстия под шурупы которые "держат" (фиксируют) спинку стула разбиты, то можно просто заменить шурупы, на шурупы со стрежнем бОльшего диаметра.

Выкручиваем старые шурупы и в это же место вкручиваем новые.

Если этот вариант не устраивает, то можно использовать мебельные шканты, вот так они выглядят.

Чтобы забить шкант, нужно определиться с его диаметром и сделать разметку, накернить, далее подобрать подходящее сверло, я использовал спиральное сверло по дереву.

Ещё лучше купить два сверла, одним сверлим отверстие меньшего диаметра, другим нужного, хотя отверстия у Вас уже есть (через низ закручивались шурупы).

Шкант должен проходить насквозь через боковины спинки стула.

Дрель держим под прямым углом к поверхности, обороты средние, или чуть ниже, на высоких оборотах древесину лучше не сверлить.

Просверли, далее на заходную часть шканта наносим клей, лучше столярный, но подойдет и строительный клей ПВА.

Вбиваем шкант молотком (и лучше деревянным), но без фанатизма, старайтесь не промахиваться, иначе оставите вмятины не древесине.

Осталось подрезать шкант заподлицо с поверхностью, я подрезал полотном от ножовки по металлу, если нет, нужна ножовка по дереву с мелким зубом.

При необходимости (для более надежного крепления) можно забить несколько шкантов.

На фото стул окрашивался, значит шкант забиваем чуть глубже чем заполицо, убираем пыль, грунтуем и шпаклюем с просушкой, шлифуем шпаклевку (нужна наждачная бумага с мелким зерном) и окрашиваем ремонтируемый участок.

Можно рассверлить отверстия в которых не держатся шурупы, в отверстие забить деревянный чопик (можно изготовить самостоятельно) чопик как и шкант (см. выше) дополнительно промазываем клеем.

Далее меняем шурупы, на саморезы по дереву.

Если древесина из которой изготавливался чопик, плотная, просверливаем отверстие диаметром чуть меньше диаметра стержня самореза.

Закручиваем саморезы в отремонтированное отверстие с чопиком, всё.

Саморезы можно закрутить как в ручном режиме, отверткой, так и при помощи шуруповерта с битой подходящей, под шлицы самореза (важный момент).

Ну и конечно определитесь с нагрузкой на спинку стула, возможно нагрузка (при эксплуатации стула) превышена, отсюда и проблемы.

Я не профи в вопросах столярки, но...

Как судовой механик, решил бы проблему так...

Разобрал, просверлил насквозь сверлом на 7 мм.

Сделал(для подстраховки два сверления спинки(вверху и внизу).

Пропустил бы шпильку на м6 и впотай болты закрутил. Затем замазал шпатлёвкой поддерево(благо в магазине их большой цветовой выбор).

И спинку стянет и стул усилит.

Извините, если не в тему...