Что делать со старым полом под линолеумом?

Вы немного поторопились. Если нет желания разбивать и выносить ЦПС, то не надо было трогать старый линолеум, новый линолеум кладётся на старый, это приемлемо (только плинтуса необходимо снять, под них заводится новый линолеум).

Если уже сняли, то выбора нет, никакие грунтовки глубокого проникновения не усилят такую рыхлую стяжку.

Скорей всего у Вас стяжка со времён СССР, тогда цемент продавали "на лево", а раствор добавляли неприемлемое количество извести, от сюда и рыхлость.

Советую полностью убрать стяжку, до плиты. Заодно проверить гидроизоляцию, она возможно так же пришла в негодность как и стяжка.

Если нет желания выносить самостоятельно, можно пригласить людей, они всё сделают.

Самовыравнивающиеся смеси

На рыхлой стяжке очень скоро появятся ямы и впадины под линолеумом, особенно под мебелью, или в местах где чаще всего ходят (плита, рабочий кухонный стол и так далее).

Я даже когда кафель кладу на такие поверхности полностью удаляю стяжку, плиточный клей не в состоянии её усилить, о грунтовках и говорить не чего.

В Вашем конкретном случае выход только один все убрать начисто. Это сэкономит и время и нервы, раз Вы уже вскрыли и увидели что вся старая цементно песочная смесь пришла в негодность выход только один - убрать. А вот хочется или не хочется тут уж захочется если хотите все сделать красиво и качественно тем более делаете для себя. Поправить старую развалившуюся стяжку невозможно. Все убираем подметаем затем пылесосим и делаем новую стяжку. Делается она просто методов много можно установит шумоизоляцию или подогрев одним словом это личное дело каждого.