В начале надо определиться с "природой" этого самого налёта.
Такой цвет в швах может дать и плесень (грибок),
может и въевшаяся грязь.
Грязь очистить проще, подход к удалению плесени более сложный.
Если это просто грязь, то советую приобрести вот такое средство для чистки межплиточных швов "Меллеруд".
Данное средство не только очищает швы от грязи, пыли, отложений различного характера, включая жировые, но и образует на поверхности тонкую защитную плёнку.
То есть швы будут меньше загрязняться.
Определитесь со степенью загрязнения, средство "Меллеруд" можно использовать и в чистом виде (сильное загрязнение) и в разбуравленном (водой).
При помощи щётки (зубной к примеру, её удобней) или губки наносим средство на швы, оставляем минут на 10-ь и затем промываем швы большим количеством воды.
Так же чёрную грязь можно удалить и содой, увлажняем швы водой, при помощи щётки (опять же зубной) наносим соду на поверхность, пищевая сода, это порошок, ждём пока она намокнет и далее активно работаем зубной щёткой, очищая швы.
На финише смываем остатки соды водой и протираем кафель насухо.
Если это плесень, то советую швы полностью очистить от фуги (затирки) грибок плесени не на поверхности, он глубоко в затирке, и поверхностная очистка не эффективна.
После удаления фуги, уделите внимание вентиляции в помещении, а так же отоплению.
Швы обрабатываются средствами о плесени.
Только после этого можно приступать к фугованию плитки, затирку покупайте с анти-грибковыми добавками.