Вопрос конечно интересный, веник стоит сущие гроши и стоил ли затевать ремонт? ну да ладно, можно попробовать. Если веник обломился не у самого основания, то есть два варианта ремонта: первый это найти подходящую по диаметру пластиковую трубу (можно купить обрезок полипропилена на строительном рынке) и одеть его поверх перелома, предварительно хорошо промазав место поломки каким-либо клеем. Второй способ предполагает использование металлического штыря, который надо будет загнать в ручку по всей длине, (например кусок арматурины небольшого диаметра)и после этого хорошим скотчем или сантехнической изоляционной лентой замотать проблемное место.
Третий, самый доступный метод, это взять палку от швабры или аналогичную, насадить на неё обломок веника, замотать скотчем/изолентой и сделать из веника что-то типа метлы.
В итоге ремонта веник послужит ещё достаточно долго. :)