Это очень плохо и лучше всего прекратить разжигать очаг в вашей барбекю до устранения этого дефекта. Обшивать потолок я вам тоже не советую, так как под обшивкой дерево всё равно будет нагреваться и возможно внутреннее возгорание, что может привести к ещё более плачевным результатам, так как скрытый огонь тяжелее потушить...
Вот такие последствия могут вызвать нагревания потолка:
Итак в этой ситуации необходимо полностью расшивать потолок и вокруг трубы дымохода устанавливать проходной короб для дымохода. Он представляет собой короб из металла, внутри которого закладывается огнеупорный, термостойкий материал, который служит утеплителем и не даёт высокой температуре распространиться по поверхности потолка и крыши...
Такой короб может спасти вас от пожара, а может и ваши жизни, поэтому не советую относиться к этому нагреву очень легкомысленно и срочно принять меры к возведению огнеупорного короба, а также приобрести в эту беседку огнетушитель, если вы собираетесь продолжать пользоваться там очагом нерегулируемой температуры с применением открытого пламени...